La aguja de Buffon y el método Monte Carlo
El método de Monte Carlo es un algoritmo de probabilidad utilizado para resolver problemas que posiblemente tengan una formulación matemática compleja y con el afán de simplificarlos podrían ser abordados a través de simulaciones aleatorias.
Su fundamento radica en generar múltiples experimentos o muestras aleatorias para estimar resultados esperados, integrales, probabilidades o valores numéricos que, de otro modo, serían difíciles de calcular de manera exacta. El teorema matemático detrás de este algoritmo es la Ley de Los Grandes Números y los teoremas ergódicos para las cadenas de Markov.
El Método de Monte Carlo tiene aplicaciones en campos como la física, la estadística, la economía y las ciencias computacionales debido a su versatilidad y eficacia en la resolución de problemas donde interviene el azar.
Una de las aplicaciones históricas más interesantes del método de Monte Carlo es el problema de la aguja de Buffon. Este problema, planteado por el matemático francés Georges-Louis Leclerc, consiste en calcular la probabilidad de que una aguja, lanzada al azar sobre un tablero con líneas paralelas, cruce alguna de ellas. En este artículo hablaremos sobre estas aplicaciones.
La simulación de Buffon
En 1777, Georges-Louis Leclerc, conocido como el Conde de Buffon, planteó el siguiente problema:
Supongamos que tenemos un tablero arbitrariamente grande en el que las únicas marcas visibles son líneas verticales paralelas, separadas una distancia d entre sí. Además, imaginemos que contamos con una cantidad arbitrariamente grande de agujas (a₁, a₂, a₃, …), todas de longitud l.
Si lanzamos una aguja aleatoriamente sobre el tablero, ¿cuál es la probabilidad de que la aguja toque alguna de las líneas paralelas? Buffon resolvió este problema y demostró el siguiente resultado:
Teorema de Buffon
La probabilidad de que una aguja de longitud l, lanzada al azar sobre un tablero con rectas paralelas separadas a una distancia d, toque una de las rectas es:
Aunque Buffon resolvió el problema analíticamente, posteriormente se observó que podía utilizarse como experimento estadístico para estimar el valor de π, lanzando muchas agujas y observando la frecuencia con la que cruzan una línea. Estos experimentos se basan en una versión sencilla del método Montecarlo.
El experimento de Laplace
Esta idea fue retomada por científicos como Laplace, quienes mostraron que, con suficientes lanzamientos, la proporción de agujas que intersectan las líneas permite aproximar π, ilustrando perfectamente la potencia del enfoque Monte Carlo para resolver problemas matemáticos mediante simulación. Usualmente, se nos presenta el número π como la proporción entre el diámetro de un círculo y la longitud de su perímetro. Con esta idea, Arquímedes fue la primera persona en aproximar el valor de π.
En 1812, el matemático francés Laplace observó que era posible aproximar el valor de π utilizando el Teorema de Buffon junto con la Ley de los Grandes Números. El experimento tipo Montecarlo que propone Laplace es muy sencillo:
Reunir tantas agujas de la misma longitud l como sea posible, digamos N.
Dibujar en una hoja de papel tantas líneas paralelas verticales como sea posible, asegurándose de que la distancia entre ellas sea exactamente igual a 2l.
Lanzar las agujas sobre la hoja siguiendo estas reglas:
Contar el número de agujas que intersectan alguna de las rectas paralelas. Llamemos a ese número n.
Calcular la razón N / n.
Teorema: Si seguimos las reglas anteriores en el experimento de Laplace, entonces la cantidad N / n se acercará al valor de π a medida que N aumenta.
¿La mentira de Lazzarini?
Después del trabajo de Buffon, Lazzarini sugirió que había utilizado precisamente el método Montecarlo para replicar el resultado y aproximar el valor de π. Según su reporte, lanzó 3,408 agujas y obtuvo una aproximación de π igual a 3.1415929. Esto es realmente sorprendente, ya que, salvo el último dígito, la aproximación es exacta. Es decir, su experimento logró un error del orden de 1 en 10 millones.
Sin embargo en un texto que estudiamos en el Colegio de Matemáticas Bourbaki se argumenta que es muy poco probable que realmente haya hecho el experimento y que, en realidad, lo más probable es que haya alterado los resultados. Esto se hace mediante el cálculo de los intervalos de confianza.
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